Fungsi linear & kuadrat - Fungsi Materi Matematika Kelas 10

Matematika adalah ilmu dasar yang tidak hanya berperan penting dalam bidang akademik, tetapi juga memiliki peranan besar dalam kehidupan sehari-hari. Dua konsep fundamental yang sering dipelajari sejak bangku sekolah menengah adalah fungsi linear dan fungsi kuadrat. Kedua fungsi ini menjadi landasan bagi pemahaman matematika tingkat lanjut, seperti kalkulus, aljabar linear, hingga statistik.

Artikel ini akan membahas secara mendalam mengenai pengertian, ciri-ciri, grafik, contoh soal, dan penerapan fungsi linear dan kuadrat dalam kehidupan nyata. Dengan penjelasan sistematis, diharapkan pembaca dapat memahami konsep ini secara menyeluruh.

1. Pengertian Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi dengan bentuk umum:

dengan:

• $a$ = gradien (kemiringan garis),

• $b$ = konstanta (titik potong sumbu Y).

Disebut “linear” karena grafiknya selalu berupa garis lurus.

1.1 Ciri-ciri Fungsi Linear

1. Grafiknya berupa garis lurus.

2. Derajat tertinggi dari variabel $x$ adalah 1.

3. Memiliki gradien yang menentukan kemiringan garis.

4. Hanya memiliki satu titik potong dengan sumbu Y.

1.2 Bentuk Umum Persamaan Garis Lurus

Ada beberapa bentuk persamaan garis lurus:

• Bentuk umum: $ax + by + c = 0$

• Bentuk eksplisit: $y = mx + c$

• Bentuk titik-gradien: $y - y_1 = m(x - x_1)$

1.3 Gradien Garis

Gradien adalah ukuran kemiringan garis. Didefinisikan sebagai:

Gradien berperan penting dalam menentukan arah garis:

• Jika $m > 0$, garis menanjak.

• Jika $m < 0$, garis menurun.

• Jika $m = 0$, garis sejajar sumbu X.

2. Grafik Fungsi Linear

Grafik fungsi linear berupa garis lurus. Cara menggambarnya:

1. Tentukan minimal dua titik dengan substitusi nilai $x$.

2. Hubungkan kedua titik tersebut.

3. Perhatikan posisi garis terhadap sumbu koordinat.

Contoh:
$f(x) = 2x + 3$

• Jika $x = 0$, maka $y = 3$ (titik (0,3))

• Jika $x = 1$, maka $y = 5$ (titik (1,5))

Garis melalui titik (0,3) dan (1,5) adalah grafik fungsi tersebut.

3. Penerapan Fungsi Linear dalam Kehidupan

Fungsi linear sering digunakan dalam:

1. Ekonomi: menghitung biaya tetap dan biaya variabel.
   Misalnya: biaya produksi = 5000 + 200x.

2. Transportasi: tarif ojek online dengan biaya dasar + biaya per km.

3. Fisika: hubungan jarak dan waktu pada kecepatan konstan.

4. Pengertian Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi dengan bentuk umum:

dengan $a, b, c \in \mathbb{R}$ dan $a \neq 0$.

Disebut “kuadrat” karena variabel $x$ memiliki pangkat tertinggi 2. Grafik fungsi kuadrat disebut parabola.

5. Ciri-ciri Fungsi Kuadrat

1. Bentuk grafik parabola.

2. Koefisien $a$ menentukan arah parabola:

   • Jika $a > 0$, parabola terbuka ke atas.

   • Jika $a < 0$, parabola terbuka ke bawah.

3. Memiliki sumbu simetri $x = -\frac{b}{2a}$.

4. Titik puncak (vertex) parabola berada pada koordinat:

   $$\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$$

6. Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar persamaan kuadrat diperoleh dengan rumus kuadrat:

Keterangan:

• Jika $b^2 - 4ac > 0$: dua akar real berbeda.

• Jika $b^2 - 4ac = 0$: satu akar real kembar.

• Jika $b^2 - 4ac < 0$: tidak ada akar real (akar imajiner).

7. Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Langkah menggambarnya:

1. Tentukan titik potong sumbu Y ($c$).

2. Cari akar-akar persamaan kuadrat.

3. Tentukan sumbu simetri dan titik puncak.

4. Hubungkan dalam bentuk parabola.

Contoh:
$f(x) = x^2 - 4x + 3$

• Akar: $x = 1$ dan $x = 3$.

• Sumbu simetri: $x = 2$.

• Titik puncak: $(2, -1)$.
  Parabola membuka ke atas karena $a = 1 > 0$.

8. Penerapan Fungsi Kuadrat dalam Kehidupan

Fungsi kuadrat banyak digunakan, misalnya:

1. Fisika: lintasan bola yang dilempar membentuk parabola.

2. Ekonomi: fungsi keuntungan maksimal pada teori ekonomi.

3. Teknik: desain jembatan lengkung berbentuk parabola.

9. Perbedaan Fungsi Linear dan Kuadrat

10. Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal 1 (Linear):

Tentukan persamaan garis melalui titik (2,3) dan (4,7).

Penyelesaian:
Gradien $m = \frac{7-3}{4-2} = 2$.
Persamaan garis: $y - 3 = 2(x - 2)$.

Soal 2 (Kuadrat):

Sebuah bola dilempar dari tanah dengan persamaan lintasan $h(t) = -5t^2 + 20t$. Tentukan tinggi maksimum yang dicapai bola.

Penyelesaian:
Bentuk fungsi kuadrat: $h(t) = -5t^2 + 20t$.
Titik puncak: $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-5)} = 2$.
Tinggi maksimum: $h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -20 + 40 = 20$.
Jadi, tinggi maksimum adalah 20 meter.

11. Pentingnya Fungsi Linear dan Kuadrat

Menguasai fungsi linear dan kuadrat penting karena:

1. Landasan untuk mempelajari aljabar tingkat lanjut.

2. Digunakan dalam pemodelan matematika.

3. Mempermudah pemahaman fenomena nyata dalam sains dan ekonomi.

Fungsi linear dan kuadrat adalah dua konsep dasar dalam matematika yang memiliki peran besar dalam dunia akademik maupun kehidupan sehari-hari. Fungsi linear menggambarkan hubungan lurus, sedangkan fungsi kuadrat menggambarkan hubungan berbentuk parabola.

Pemahaman mendalam mengenai grafik, akar, dan penerapannya membantu kita dalam memecahkan berbagai permasalahan, mulai dari perhitungan biaya, prediksi ekonomi, hingga analisis lintasan dalam fisika. Dengan latihan yang konsisten, fungsi linear dan kuadrat akan terasa lebih mudah dipahami dan diaplikasikan.